２次関数（数Ⅰ）
２次関数のグラフ
２次関数のグラフは以下になります。
- $y=a(x-p)^2+q$（$a\ne0$）のグラフ
頂点が（$p$ 、$q$）で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。 - $y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）のグラフ
頂点が以下で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。
$$y=a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$$$\mbox{頂点：}\Big(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\Big)$$
与えられた条件により、２次関数は以下のように求められます。
- 頂点（$p,q$）が与えられた場合、
⇒ $y=a(x-p)^2+q$ とおく。 - ３点が与えられた場合、
⇒ $y=ax^2+bx+c$ に代入して３つの連立方程式を解く。
平行移動と対称移動
関数の平行移動と対称移動は以下のように変換されます。
| 元の点/関数 | 点（$a,b$） | 関数 $y=f(x)$ |
| （$p,q$）の平行移動 | （$a+p,b+q$） | $y=f(x-p)+q$ |
| $x$ 軸の対称移動 | （$a,-b$） | $y=-f(x)$ |
| $y$ 軸の対称移動 | （$-a,b$） | $y=f(-x)$ |
| 原点の対称移動 | （$-a,-b$） | $y=-f(-x)$ |
関数の最大と最小
区間が定められていない２次関数（$y=ax^2+bx+c$）の場合は、平方完成しての形 $y=a(x-p)^2+q$ にします。
- $a\gt0$（下に凸）のとき、$x=p$ で最小値は $q$ 、最大値はない。
- $a\lt0$ （上に凸）のとき、$x=p$ で最大値は $q$ 、最小値はない。
区間（$h\le x\le k$）が定められている場合の関数（$y=ax^2+bx+c$）の場合、
- $a\gt0$（下に凸）のとき、
区間内に頂点がある場合、頂点で最小、頂点から遠い区間の端で最大。
区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最小、遠い端で最大。 - $a\lt0$（上に凸）のとき、
区間内に頂点がある場合、頂点で最大、頂点から遠い区間の端で最小。
区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最大、遠い端で最小。
解の公式
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の公式は以下になります。
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
この２つの解を $\alpha,\beta$ とすると、
$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a} , \alpha\beta=\frac{c}{a}$$
判別式
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、
- $D\gt0$ ならば、異なる２つの実数解をもつ。
- $D=0$ ならば、ただ１つの実数解（重根）をもつ。
- $D\lt0$ ならば、実数解をもたない。
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、
- $D\gt0$ ならば、$x$ 軸と異なる２点で交わる。
- $D=0$ ならば、$x$ 軸と１点で接する。
- $D\lt0$ ならば、$x$ 軸と共有点をもたない。
２次不等式
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$（$a\gt0$）が２つの解 $\alpha,\beta$（$\alpha\lt\beta$）、または重根 $\alpha$ を持つ場合、判別式 $D$ と解の関係は以下になります。
| ２次不等式 | $D\gt0$ | $D=0$ | $D\lt0$ |
| $ax^2+bx+c\gt0$ | $x\lt\alpha$ 、$\beta\lt x$ | なし | 全ての実数 |
| $ax^2+bx+c\lt0$ | $\alpha\lt x\lt\beta$ | なし | なし |
| $ax^2+bx+c\ge0$ | $x\le\alpha$ 、$\beta\le x$ | $x=\alpha$ | 全ての実数 |
| $ax^2+bx+c\le0$ | $\alpha\le x\le\beta$ | $x=\alpha$ | なし |
２次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a\gt0$ 、$D\gt0$）の場合、点 $k$ との関係は以下になります。
- $k\lt\alpha$ ならば、$f(k)\gt0$
- $\alpha\lt k\lt\beta$ ならば、$f(k)\lt0$
- $\beta\lt k$ ならば、$f(k)\gt0$
方程式・式と証明（数Ⅱ）
２項定理
２項定理は以下で表されます。
$$(a+b)^n={}_nC_0a^n+{}_nC_1a^{n-1}b+{}_nC_2a^{n-2}b^2+\cdots$$$$+{}_nC_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_nC_{n-1}ab^{n-1}+{}_nC_nb^n$$
多項定理（３項）の場合は、$(a+b+c)^n$ の一般項は以下で表されます。
$$\frac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r (p+q+r=n)$$
剰余定理と因数定理
剰余定理と因数定理は以下で表されます。
- 剰余定理：
整式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ である。
整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割ったときの余りは $P(-b/a)$ である。 - 因数定理：
整式 $P(x)$ が $x-a$ を因数にもつならば、$P(a)=0$
整式 $P(x)$ が $ax+b$ を因数にもつならば、$P(-b/a)=0$
高次方程式
高次方程式の性質は以下になります。
- 実数係数の次方程式が虚数解 $a+bi$ をもつならば、
それと共役な複素数 $a+bi$ も解である。 - ３次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の３つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、
$$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$$$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$$$$\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$$$$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$
恒等式と不等式
恒等式の性質は以下になります。
- $P(x)=Q(x)$ が $x$ についての恒等式であるならば、
$P(x)$ と$Q(x)$ の同じ次数の項の係数は一致する。 - ２次の整式の場合：
$ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’$ が $x$ の恒等式ならば、
$a=a’$ 、$b=b’$ 、$c=c’$ が成り立つ。
不等式について以下の関係が成り立ちます。
- $a\gt b$ ならは、$a-b\gt0$ 、$a^2\gt b^2$
- コーシー・シュワルツの不等式：
$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$$$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(ax+by+cz)^2$$ - 相加平均と相乗平均：
$a\gt0$ 、$b\gt0$ のとき以下の関係が成り立つ（等号は $a=b$ の場合）
$$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$
式と曲線（数Ⅲ）
楕円
- 楕円の方程式
中心は原点、長軸の長さは $2a$ 、短軸の長さは $2b$ 、焦点は $F(c,0)$ と $F'(-c,0)$ 、$c=\sqrt{a^2+b^2}$ 、曲線上の任意の点 $P$ について $PF+PF’=2a$
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a,b\gt0)$$ - 曲線上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式
$$\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$$ - 媒介変数表示
$$x=a\cos{\theta} , y=b\sin{\theta}$$ - $a=b$ の場合 ⇒ 円の方程式
$$x^2+y^2=a^2$$$$x=a\cos{\theta} , y=a\sin{\theta}$$
放物線
- 放物線の方程式
頂点は原点、焦点は $F(p,0)$ 、準線は直線 $x=-p$ 、曲線は軸（ $x$ 軸）に対して対称。
$$y^2=4px (p\ne0)$$ - 曲線上の点 $(x_1,y_1)$ での接線の方程式
$$y_1y=2p(x+x_1)$$ - 媒介変数表示
$$x=pt^2 , y=2pt$$
双曲線
- 双曲線の方程式
中心は原点、焦点は $F(c,0)$ と $F'(-c,0)$ 、$c=\sqrt{a^2+b^2}$ 、曲線上の任意の点 $P$ について $|PF-PF’|=2a$
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 (a,b\gt0)$$ - 双曲線の漸近線
$$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0 , \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0$$ - 曲線上の点 $(x_1,y_1)$ での接線の方程式
$$\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1$$ - 媒介変数表示
$$x=\frac{a}{\cos{\theta}} , y=b\tan{\theta}$$
極座標
- 極座標 $(r,\theta)$ と直交座標 $(x,y)$ の関係
$$x=r\cos{\theta} , y=r\sin{\theta}$$$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ - ２点 $A(a_1,\theta_1)$ と $B(r_2,\theta_2)$ の距離$$AB=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos{(\theta_2-\theta_1)}}$$
- ２点 $A(r_1,\theta_1)$ と $B(r_2,\theta_2)$ と極 $O$ の面積
$$\Delta OAB=\frac{1}{2}r_1r_2|\sin{(\theta_2-\theta_1)}|$$
