【高校数学】２次関数と方程式

２次関数（数Ⅰ）
方程式・式と証明（数Ⅱ）
式と曲線（数Ⅲ）

２次関数（数Ⅰ）

２次関数のグラフ

２次関数のグラフは以下になります。

$y = a (x - p)^{2} + q$ （ $a \neq 0$ ）のグラフ
頂点が（ $p$ 、 $q$ ）で、 $a > 0$ なら下に凸、 $a < 0$ なら上に凸の放物線を表す。
$y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）のグラフ
頂点が以下で、 $a > 0$ なら下に凸、 $a < 0$ なら上に凸の放物線を表す。

$y = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ $頂点： (- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})$

与えられた条件により、２次関数は以下のように求められます。

頂点（ $p, q$ ）が与えられた場合、
⇒ $y = a (x - p)^{2} + q$ とおく。
３点が与えられた場合、
⇒ $y = a x^{2} + b x + c$ に代入して３つの連立方程式を解く。

平行移動と対称移動

関数の平行移動と対称移動は以下のように変換されます。

元の点/関数	点（ $a, b$ ）	関数 $y = f (x)$
（ $p, q$ ）の平行移動	（ $a + p, b + q$ ）	$y = f (x - p) + q$
$x$ 軸の対称移動	（ $a, - b$ ）	$y = - f (x)$
$y$ 軸の対称移動	（ $- a, b$ ）	$y = f (- x)$
原点の対称移動	（ $- a, - b$ ）	$y = - f (- x)$

関数の最大と最小

区間が定められていない２次関数（ $y = a x^{2} + b x + c$ ）の場合は、平方完成しての形 $y = a (x - p)^{2} + q$ にします。

$a > 0$ （下に凸）のとき、 $x = p$ で最小値は $q$ 、最大値はない。
$a < 0$ （上に凸）のとき、 $x = p$ で最大値は $q$ 、最小値はない。

区間（ $h \leq x \leq k$ ）が定められている場合の関数（ $y = a x^{2} + b x + c$ ）の場合、

$a > 0$ （下に凸）のとき、
区間内に頂点がある場合、頂点で最小、頂点から遠い区間の端で最大。
区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最小、遠い端で最大。
$a < 0$ （上に凸）のとき、
区間内に頂点がある場合、頂点で最大、頂点から遠い区間の端で最小。
区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最大、遠い端で最小。

解の公式

２次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解の公式は以下になります。

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

この２つの解を $α, β$ とすると、

$a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$ $α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$

判別式

２次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ は、判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ に対し、

$D > 0$ ならば、異なる２つの実数解をもつ。
$D = 0$ ならば、ただ１つの実数解（重根）をもつ。
$D < 0$ ならば、実数解をもたない。

２次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ は、判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ に対し、

$D > 0$ ならば、 $x$ 軸と異なる２点で交わる。
$D = 0$ ならば、 $x$ 軸と１点で接する。
$D < 0$ ならば、 $x$ 軸と共有点をもたない。

２次不等式

２次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a > 0$ ）が２つの解 $α, β$ （ $α < β$ ）、または重根 $α$ を持つ場合、判別式 $D$ と解の関係は以下になります。

２次不等式	$D > 0$	$D = 0$	$D < 0$
$a x^{2} + b x + c > 0$	$x < α$ 、 $β < x$	なし	全ての実数
$a x^{2} + b x + c < 0$	$α < x < β$	なし	なし
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	$x \leq α$ 、 $β \leq x$	$x = α$	全ての実数
$a x^{2} + b x + c \leq 0$	$α \leq x \leq β$	$x = α$	なし

２次関数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a > 0$ 、 $D > 0$ ）の場合、点 $k$ との関係は以下になります。

$k < α$ ならば、 $f (k) > 0$
$α < k < β$ ならば、 $f (k) < 0$
$β < k$ ならば、 $f (k) > 0$

方程式・式と証明（数Ⅱ）

２項定理

２項定理は以下で表されます。

$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} a^{n} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b +_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots$ $+_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots +_{n} C_{n - 1} a b^{n - 1} +_{n} C_{n} b^{n}$

多項定理（３項）の場合は、 $(a + b + c)^{n}$ の一般項は以下で表されます。

$\frac{n!}{p! q! r!} a^{p} b^{q} c^{r} (p + q + r = n)$

剰余定理と因数定理

剰余定理と因数定理は以下で表されます。

剰余定理：
整式 $P (x)$ を $x - a$ で割ったときの余りは $P (a)$ である。
整式 $P (x)$ を $a x + b$ で割ったときの余りは $P (- b / a)$ である。
因数定理：
整式 $P (x)$ が $x - a$ を因数にもつならば、 $P (a) = 0$
整式 $P (x)$ が $a x + b$ を因数にもつならば、 $P (- b / a) = 0$

高次方程式

高次方程式の性質は以下になります。

実数係数の次方程式が虚数解 $a + b i$ をもつならば、
それと共役な複素数 $a + b i$ も解である。
３次方程式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の３つの解を $α, β, γ$ とすると、
$α + β + γ = - \frac{b}{a}$ $α β + β γ + γ α = \frac{c}{a}$ $α β γ = - \frac{d}{a}$ $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - α) (x - β) (x - γ)$

恒等式と不等式

恒等式の性質は以下になります。

$P (x) = Q (x)$ が $x$ についての恒等式であるならば、
$P (x)$ と $Q (x)$ の同じ次数の項の係数は一致する。
２次の整式の場合：
$a x^{2} + b x + c = a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}$ が $x$ の恒等式ならば、
$a = a^{'}$ 、 $b = b^{'}$ 、 $c = c^{'}$ が成り立つ。

不等式について以下の関係が成り立ちます。

$a > b$ ならは、 $a - b > 0$ 、 $a^{2} > b^{2}$
コーシー・シュワルツの不等式：
$(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \geq (a x + b y)^{2}$ $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq (a x + b y + c z)^{2}$
相加平均と相乗平均：
$a > 0$ 、 $b > 0$ のとき以下の関係が成り立つ（等号は $a = b$ の場合）
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$

式と曲線（数Ⅲ）

楕円

楕円の方程式
中心は原点、長軸の長さは $2 a$ 、短軸の長さは $2 b$ 、焦点は $F (c, 0)$ と $F^{'} (- c, 0)$ 、 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 、曲線上の任意の点 $P$ について $P F + P F^{'} = 2 a$
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$
曲線上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式
$\frac{x_{1} x}{a^{2}} + \frac{y_{1} y}{b^{2}} = 1$
媒介変数表示
$x = a \cos θ, y = b \sin θ$
$a = b$ の場合 ⇒ 円の方程式
$x^{2} + y^{2} = a^{2}$ $x = a \cos θ, y = a \sin θ$

放物線

放物線の方程式
頂点は原点、焦点は $F (p, 0)$ 、準線は直線 $x = - p$ 、曲線は軸（ $x$ 軸）に対して対称。
$y^{2} = 4 p x (p \neq 0)$
曲線上の点 $(x_{1}, y_{1})$ での接線の方程式
$y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$
媒介変数表示
$x = p t^{2}, y = 2 p t$

双曲線

双曲線の方程式
中心は原点、焦点は $F (c, 0)$ と $F^{'} (- c, 0)$ 、 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 、曲線上の任意の点 $P$ について $| P F - P F^{'} | = 2 a$
$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$
双曲線の漸近線
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$
曲線上の点 $(x_{1}, y_{1})$ での接線の方程式
$\frac{x_{1} x}{a^{2}} - \frac{y_{1} y}{b^{2}} = 1$
媒介変数表示
$x = \frac{a}{\cos θ}, y = b \tan θ$

極座標

極座標 $(r, θ)$ と直交座標 $(x, y)$ の関係
$x = r \cos θ, y = r \sin θ$ $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
２点 $A (a_{1}, θ_{1})$ と $B (r_{2}, θ_{2})$ の距離 $A B = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1})}$
２点 $A (r_{1}, θ_{1})$ と $B (r_{2}, θ_{2})$ と極 $O$ の面積
$Δ O A B = \frac{1}{2} r_{1} r_{2} | \sin (θ_{2} - θ_{1}) |$