【高校数学】数列とベクトル

数列
ベクトル

数列

等差数列

初項 $a$ 、公差 $d$ 、末項 $b$ のとき、

一般項 $a_n$：
$$a_n=a+(n-1)b$$
等差の中項：$a,b,c$ が等差数列であれば、$2b=a+c$
$n$ 項までの和 $S_n$（$=a_n+S_{n-1}$）：
$$S_n=\frac{1}{2}n(a+b)=\frac{1}{2}n\Big(2a+(n-1)d\Big)$$

等比数列

初項 $a$ 、公差 $d$ のとき、

一般項 $a_n$：
$$a_n=ar^{n-1}$$
等比の中項：$a,b,c$ が等差数列であれば、$b^2=ac$
$n$ 項までの和 $S_n$（$=a_n+S_{n-1}$）：
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

数列の公式

$p,q$ が $k$ に無関係な定数とすると、

$$\sum_{k=1}^n(pa_k+qb_n)=p\sum_{k=1}^na_k+q\sum_{k=1}^nb_n$$

累乗の和は以下で表されます。

$$\sum_{k=1}^nc=nc　　,　　\sum_{k=1}^n1=n$$$$\sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^3=\Big(\frac{1}{2}n(n+1)\Big)^2$$

階差数列

数列 $a_n$ の階差数列を $b_n$（$b_n=a_{n+1}-a_n$）とすると、

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n　　(n\ge2)$$

数学的帰納法

ある自然数 $n$ に関する命題が、全ての自然数に対して成り立つことを証明するには、以下の２つのことを示せばよい。

$n=1$ のときに成り立つ。
$n=k$ のときに成り立つとき、$n=k+1$ のときも成り立つ。

ベクトル

ベクトルの計算

ベクトルには以下の関係が成り立ちます。

ベクトルの平行条件：
２つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ が平行（$\vec{a}\parallel\vec{b}$）であるならば、
$\vec{a}=k\vec{b}$ となる実数が存在する。
ベクトルの分解：
２つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ が平行でないならば、
任意のベクトルは $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ で表されます（ $s,t$ は実数）

ベクトルの成分

２つのベクトル $\vec{a}=(a_1,a_2)$ 、$\vec{b}=(b_1,b_2)$ について、

ベクトルの大きさ：
$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
成分による演算：
$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$ 、$k$ が実数の場合、$k\vec{a}=(ka_1,ka_2)$

２つの点 $A(a_1,a_2)$ 、$B(b_1,b_2)$ について、

ベクトルの表記：
$\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)$
ベクトルの大きさ
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}$

内積

２つのベクトル $\vec{a}=(a_1,a_2)$ 、$\vec{b}=(b_1,b_2)$ の内積は以下になります。

内積の定義：
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}=a_1b_1+a_2b_2$
内積の性質：
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$ 、$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$ 、$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
垂直条件：
２つのベクトルが垂直（$\vec{a}\perp\vec{b}$）ならば、$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$（$a_1b_1+a_2b_2=0$）

位置ベクトル

３点 $A(\vec{a})$ 、$B(\vec{b})$ 、$C(\vec{c})$ について、

内分点：
線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $C$ の位置ベクトルは、
$$\vec{c}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$
外分点：
線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $C$ の位置ベクトルは、
$$\vec{c}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$$
３点が一直線上にある条件は、
$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ となる実数 $k$ が存在する。