微分と積分（数Ⅱ）
導関数
導関数の定義は以下になります。
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
これにより導関数の公式は以下になります。
- $n$ が正の整数のとき、$(x^n)’=nx^{n-1}$
- $c$ が定数で、$y=c$ ならば、$y’=0$
- $a,b$ が定数で、$y=af(x)\pm bg(x)$ ならば、$y’=af'(x)\pm bg'(x)$
不定積分
$n$ が正の整数または０のとき、
$$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
定積分
$f(x)$ の原始関数の１つを $F(x)$ とすると、
$$\int_a^bf(x)dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$$
$k,l$ を定数とすると、定積分は以下の性質をもちます。
$$\int_a^b\Big(kf(x)\pm lg(x)\Big)dx=k\int_a^bf(x)dx\pm l\int_a^bg(x)dx$$$$\int_a^af(x)dx=0$$$$\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$$$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$$$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)$$
$f(x)$ を偶関数、$g(x)$ を奇関数とすると、$y$ 軸に対称な区間での定積分は以下になります。
$$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$$$\int_{-a}^ag(x)dx=0$$
微分法（数Ⅲ）
複合関数の導関数は以下で表されます。
$$(fg)’=f’g+fg’$$$$\Big(\frac{f}{g}\Big)’=\frac{f’g-fg’}{g^2}$$$$\Big(\frac{1}{g}\Big)’=-\frac{g’}{g^2}$$
$y=f(u)$ 、$u=g(x)$ のとき、
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$$$\frac{dy}{dx}=1\Big/\frac{dx}{dy}$$
初等関数の導関数
- 三角関数の導関数
$$(\sin{x})’=\cos{x}$$$$(\cos{x})’=-\sin{x}$$$$(\tan{x})’=\frac{1}{\cos^2{x}}$$ - 指数関数の導関数
$$\lim_{h\to0}(1+h)^{1/h}=\lim_{x\to\pm\infty}\Big(1+\frac{1}{x}\Big)^x\equiv e$$$$(e^x)’=e^x$$$$(a^x)’=a^x\log_e{a}$$ - 対数関数の導関数
$$(\log_e{|x|})’=\frac{1}{x}$$$$(\log_a{|x|})’=\frac{1}{x\log_e{a}}$$ - 関数 $F(x,y)=0$ 、$y=f(x)$ の導関数
$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{df}{dx}=0$$ - 媒介変数 $t$ で表された関数の導関数
$x=f(t)$ 、$y=g(t)$ のとき
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\Big/\frac{dx}{dt}=\frac{g'(t)}{f'(x)}$$
接線と法線
曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A\big(a,f(a)\big)$ において、
- 接線の方程式
$$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$ - 法線の方程式
$$y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$$
平均値の定理
関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続かつ微分可能で、$f(a)=f(b)$ の場合、
- ロルの定理
$f'(c)=0$ を満たす実数 $c$（ $a\lt c\lt b$ ）が存在する - 平均値の定理
以下を満たす実数 $c$（ $a\lt c\lt b$ ）が存在する
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$
極大・極小・最大・最小
- 関数の増減
関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続かつ微分可能ならば、
常に $f'(X)\gt0$ ならば区間 $[a,b]$ で単調増加
常に $f'(X)\lt0$ ならば区間 $[a,b]$ で単調減少
常に $f'(X)=0$ ならば区間 $[a,b]$ で定数 - 関数の極大・極小
$x=a$ を含む十分小さい区間について、
$x\ne a$ で $f(x)\lt f(a)$ のとき、$f(x)$ は $x=a$ で極大値をもつ
$x\ne a$ で $f(x)\gt f(a)$ のとき、$f(x)$ は $x=a$ で極小値をもつ - 極大値・極小値
$x=a$ を含むある区間で $f^{”}(x)$ は連続とすると、
$f'(a)=0$ 、$f^{”}(a)\lt 0$ ならば $f(a)$ は極大値
$f'(a)=0$ 、$f^{”}(a)\gt 0$ ならば $f(a)$ は極小値 - 凹凸と変曲点
ある区間で $f^{”}(a)\gt 0$ ならば、その区間で下に凸
ある区間で $f^{”}(a)\lt 0$ ならば、その区間で上に凸
曲線の凹凸が切り替わる曲線上の点 $f^{”}(a)=0$ を変曲点と呼ぶ - 漸近線
以下のどちらが $\pm\infty$ になる場合、直線 $x=a$ が漸近線
$$\lim_{x\to a+0}f(x) , \lim_{x\to a-0}f(x)$$
以下のどちらが $0$ になる場合、直線 $y=ax+b$ が漸近線
$$\lim_{x\to\infty}\Big(f(x)-(ax+b)\Big) , \lim_{x\to-\infty}\Big(f(x)-(ax+b)\Big)$$
速度と加速度
- 平面上の運動の速度 $v$
運動する点の座標 $x$ が時間 $t$ の関数 $x=f(t)$ 、$y=g(x)$ で表されるとき
$$\vec{v}=\Big(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\Big)$$$$|\vec{v}|=\sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2}$$ - 平面上の運動の加速度 $a$
$$\vec{a}=\Big(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\Big)$$$$|\vec{a}|=\sqrt{\Big(\frac{d^2x}{dt^2}\Big)^2+\Big(\frac{d^2y}{dt^2}\Big)^2}$$ - １次近似式
$h$ が十分に小さい場合、$f(a+h)\simeq f(a)+f'(a)h$
積分法（数Ⅲ）
初等関数の積分
$$\int\frac{dx}{x}=log_e|x|+C$$$$\int\sin{x}dx=-\cos{x}+C$$$$\int\cos{x}dx=\sin{x}+C$$$$\int e^xdx=e^x+C$$$$\int a^xdx=\frac{a^x}{\log_ea}+C$$
置換積分法
$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)dx=\int f(u)du , g(x)\equiv u$$$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}=\log_e{|f(x)|}+C$$$$\int\big(f(x)\big)^af'(x)dx=\frac{\big(f(x)\big)^{a+1}}{a+1}+C$$
定積分の置換積分法は、$x=g(t)$ 、$a=g(p)$ 、$b=g(q)$ のとき、
$$\int_a^bf(x)dx=\int_p^qf\big(g(t)\big)g'(t)dt$$
部分積分法
$$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$$$$\int f(x)dx=xf(x)-\int xf'(x)dx$$
定積分の部分積分法は、
$$\int_a^bf(x)g'(x)dx=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf'(x)g(x)dx$$
区間積分法
$f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続で、この区間を $n$ 等分して両端と分点を $a=x_0,x_1,x_2,\cdots,x_n=b$ とすると、
$$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta x$$$$\Delta x\equiv\frac{b-a}{n}$$
特に $a=0$ 、$b=1$ とすると、
$$\int_0^1f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\Big(\frac{k}{n}\Big)$$
面積と体積
- 区間 $a\le x\le b$ において、$f(x)\ge g(x)$ であるとき、この２つの曲線に囲まれた面積は、
$$S=\int_a^b\Big(f(x)-g(x)\Big)dx$$ - 曲線 $x=g(y)$ と $y$ 軸の間の面積
曲線 $x=g(y)$ と $y$ 軸と２直線 $y=c$ 、$y=d$ で囲まれた面積
$$S=\int_c^d|g(y)|dy$$ - $x=f(t)$ 、$y=g(t)$ で表される面積
$$S=\int_a^bydx=\int_\alpha^\beta g(t)f'(x)dt$$$$a=f(\alpha) , b=f(\beta)$$ - 立体の体積
断面の面積が $S(x)$ の立体の $a\le x\le b$ での体積は、
$$V=\int_a^bS(x)dx$$ - 回転体の体積
曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸と２直線 $x=a$ 、$x=b$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに１回転してできる立体の体積は、
$$V=\pi\int_a^b\Big(f(x)\Big)^2dx$$ - 曲線の長さ
曲線 $x=f(t)$ 、$y=g(t)$（ $\alpha\le t\le\beta$ ）の長さ $L$ は、
$$L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2}dt$$
曲線 $y=f(x)$ （ $a\le x\le b$ ）の長さ $L$ は、
$$L=\int_a^b\sqrt{1+\Big(\frac{dy}{dx}\Big)^2}dx$$
