数学

2021.04.13

理数の散策路
数学

解析学

コーシー・リーマンの関係式とは
複素関数が正則であるための条件、正則関数、コーシー・リーマンの関係式を導く
ロルの定理とは
ロルの定理、ロルの定理を導く、平均値の定理、平均値の定理を導く
テイラー展開とは
関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和、マクローリン展開、初等関数の級数展開
初等関数の微分公式
微分の定義、べき関数の微分、指数関数の微分、対数関数の微分、三角関数の微分、双曲線関数の微分
共変微分とは
曲線座標においてテンソルとなる微分、テンソルの条件、反変微分はテンソルではない、共変微分はテンソルである

代数学

固有値問題とは
あるベクトルの線形変換が元のベクトルのスカラー倍になるための条件、固有値、固有ベクトル、固有方程式、行列の対角化
フェルマーの小定理とは
素数の性質についての定理、実用面でもRSA暗号に応用、フェルマーの小定理を導く、フェルマーの小定理の対偶
クラメルの公式とは
連立１次方程式の解を行列式により求める手法、余因子、余因子行列、逆行列の公式を導く、クラメルの公式を導く
環論とは
加法と乗法の二項演算を備えた代数系、整数と似た性質を持つ、有理整数環、イデアル、剰余環
群とは
半群、可換群、部分群、置換群（対称群）、巡回群、直積群、直交群、回転群、点群、空間群、ユニタリ群、特殊ユニタリ群

幾何学

ストークスの定理とは
ベクトル解析の基本公式、ベクトル場の任意の曲面の周回積分がベクトル場の回転の面積分に一致
反変ベクトルと共変ベクトル
反変ベクトル、共変ベクトル、基底ベクトル、スカラー積、計量、テンソル、座標変換
メネラウスの定理とは
直線が三角形の辺またはその延長と交わる点に関する関係式、メネラウスの定理の導出、多角形の場合のメネラウスの定理
極座標と円柱座標
球座標、円筒座標、直交曲線座標、微小体積、勾配、分散、回転、ラプラシアン
ガウスの発散定理とは
ガウスの定理、ベクトル場の閉曲面上の面積分、ベクトル場の発散の体積積分、ベクトル解析

統計学

期待値と分散
ある確率変数に確率分布の重みをつけて足し合わせた加重平均、期待値、分散、共分散、相関係数
推定とは（統計学）
帰無仮説、対立仮説、有意水準、標準化正規分布、第１種の過誤、第２種の過誤、点推定、区間推定、不偏推定量
検定とは（統計学）
帰無仮説、対立仮説、有意水準、標準化正規分布、第１種の過誤、第２種の過誤、母平均の検定、母分散の検定
統計量とは
未知である母集団の特徴を推測、母集団から抽出されたデータから計算、平均、平方和、分散、標準偏差、共分散、相関係数
正規分布とは
平均値を中心としたデータのバラつきを表す分布、ガウス分布、誤差分布、正規分布の標準化、標準偏差、標準分布の特徴

論理・基礎論

ゲーデル数とは
数理論理式で用いられる論理式に対し一意的に割り当てられた自然数、原始記号、式系列、ゲーデル数を使うことで証明を形式化
述語論理とは
「任意の」と「適当な」という変数の範囲を表す語により推論を行う、公理系、ド・モルガンの法則
命題論理とは
命題・論理式、論理記号、含意・否定・同値・論理和・論理積、公理系、推論規則、背理法、ド・モルガンの法則
チャーチ・チューリングの定立とは
計算可能な関数とチューリングマシンで計算できる関数は同じ、帰納的関数、計算システムの等価性
チューリングマシンとは
計算を行うための基本的な機能が定義された仮想的な装置、制御部（ヘッド）、記憶部（テープ）、万能チューリングマシン

応用・物理数学

離散フーリエ変換とは
有限個の離散的な値に対するフーリエ変換、フーリエ級数から離散フーリエ変換の形を類推、離散フーリエ変換の性質
ガンマ関数とは
階乗 の概念を複素数全体に拡張した特殊関数、ガンマ関数の定義式、ガンマ関数の公式
ラグランジュ補間法とは
離散的なデータ間の値の近似を行う手法、与えられた全ての点を通る多項式を求める、関数補間、ラグランジュ補間法を導く
ベアストゥ法とは
一般的な多項式の根の全てを求めることができる数値計算法、多項式から２次の多項式で因数分解、剰余を０にする手順
ニュートン法とは
高次方程式の根を求めるための数値計算法、関数が単調に増加または減少している範囲で有効、２分法

情報・暗号

RSA暗号とは
桁数が大きい合成数の素因数分解の困難さが安全性の根拠、公開鍵暗号、非対象鍵暗号、公開鍵、暗号化鍵、秘密鍵、複合化鍵
ブロック暗号とは
固定長さのブロックを同じ長さのブロックに変換する暗号化方式、ECBモード、CBCモード、CFBモード、OFBモード
ディフィ・ヘルマン鍵交換とは
DH鍵交換、暗号化に用いる共通秘密鍵を生成・共有するためのプロトコル、離散対数問題が困難であることに基づく
シャノンの通信路定理とは
雑音のある通話路の基本定理、誤りのない情報の伝送速度を通話路容量に近づけられることを示した定理、情報伝達速度
情報量とエントロピー
情報量の定義、知識の不可実さ、問合せの回数、ビット、情報量の加法性、情報のエントロピーの定義

機械学習

決定木とは
機械学習、分類や意思決定の分岐を階層的に表した樹形図、学習アルゴリズム、多様性指数、ジニ係数、情報利得
ｋ平均法とは
k-means 法、クラスタ分析、クラスタの重心との距離を最も小さくする基準でクラスタを形成、アルゴリズム
重回帰分析とは
目的変数（従属変数） と説明変数（独立変数） の間に定量的な関係、回帰式、残差、回帰式の導出と評価、寄与率、テコ比
ベイズの定理とは
ある事象の確率 を関連する条件の知識に基づいて求める手法、加法定理と乗法定理、ベイズの定理を導く、ベイズ推定
主成分分析とは
互いに相関のある多数の変数から相関のない少数の合成変数（主成分）に要約、主成分の導出、寄与率、累積寄与率、因子負荷率

金融・ゲーム理論

投資機会集合とは
投資家が選択できるリターンとリスクの組み合わせ、リスク低減、２資産の場合のリターンとリスク、相関係数、順相関、無相関
部分ゲーム完全均衡とは
展開ゲームの全ての部分ゲームに対してナッシュ均衡を与える行動戦略の組、ゲーム理論
ポートフォリオのリターンとリスク
２銘柄のポートフォリオの場合のリターンとリスクを求める、無相関の資産を組み合わせたポートフォリオのリスクは低減される
二項価格評価モデルとは
株価の変化を上昇と下落に場合分けして将来の株価の推移を予測、現在のオプションの価値を推定する方法
モジリアーニ・ミラー理論とは
MM理論、企業価値保存の法則、企業価値は資本構成に無関係、完全市場の仮定、無裁定の仮定

初等数学

数列とベクトル（高校数学）
等差数列、等比数列、階差数列、数学的帰納法、ベクトル、内積、位置ベクトル、三角形の面積、ベクトル方程式
確率と統計（高校数学）
分散、標準偏差、相関関係、個数定理、和の法則、積の法則、順列、組合せ、期待値、二項分布、正規分布、標本平均
初等関数の公式
初等関数の定義と関係式、指数関数、対数関数、三角関数、双曲線関数、加法定理、オイラーの公式
図形と方程式（高校数学）
正弦定理、余弦定理、重心・外心・垂心・内心、チェバの定理、メネラウスの定理、円周角、接弦定理、方べきの定理、三垂線の定理
数と集合（高校数学）
因数分解、不等式、最大公約数、最小公倍数、互除法、不定方程式、有限小数と循環小数、ド・モルガンの法則、命題と条件

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2021.03.24

 

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