ポートフォリオのリターンとリスク

ポートフォリオとは
ポートフォリオのリターン
ポートフォリオのリスク
式の導出

ポートフォリオとは

ポートフォリオとは、保有する株式や債券などの投資資産の組合せを表します。一般に、値動きに相関の無い資産を組み合わせたポートフォリオのリスクは、各資産単体のリスクより低減されることが分かっています。

以下、２銘柄のポートフォリオに分散投資した場合のリターンとリスクを求めます。

ポートフォリオのリターン

資産 $i$ の収益率を $R_{i}$ 、投資比率を $w_{i}$ とすると、ポートフォリオのリターン（収益率）は以下で求められます。

$R = w_{1} R_{1} + w_{2} R_{2} － ①$ $w_{1} + w_{2} = 1$

ポートフォリオの期待投資収益率 $E [R]$ は以下で定義します。

$E [R] \equiv w_{1} E [R_{1}] + w_{2} E [R_{2}]$

各資産のリターン（期待収益率） $μ_{i}$ は、予測される収益率 $R_{i j}$ の平均（ $p_{i j}$ は発生確率）として求められるため、

$μ_{i} = E [R_{i}] = \sum_{j} p_{i j} R_{i j}$ $\sum_{j} p_{i j} = 1$

ポートフォリオの全体のリターン $μ$ は、これより以下で表すことができます。

$μ = E [R] = w_{1} μ_{1} + w_{2} μ_{2} － ②$

ポートフォリオのリスク

ポートフォリオの分散 $V$ と標準偏差 $σ$ は以下で定義されます。ポートフォリオの分散（ $V [R]$ ）は、過去の一定期間の平均から求められます。

$V [R] = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (R_{i} - μ)^{2} \equiv E [(R - E [R])^{2}] － ③$ $σ^{2} (R) \equiv V [R]$

①のような２資産の場合は、リスクは次のように書き替えることができます（④の導出）。

$V [R] = w_{1}^{2} V [R_{1}] + 2 w_{1} w_{2} C (R_{1}, R_{2}) + w_{2}^{2} V [R_{2}] - ④$ $= w_{1}^{2} σ_{1}^{2} + 2 w_{1} w_{2} σ_{1} σ_{2} ρ_{12} + w_{2}^{2} σ_{2}^{2}$

尚、 $C (R_{1}, R_{2})$ は共分散、 $ρ_{12}$ は相関係数を表します。

共分散

ポートフォリオの共分散とは、２資産の相関性を表す尺度です。２資産の共分散は、以下で定義されます。

$C (R_{1}, R_{2}) \equiv E [(R_{1} - E [R_{1}]) (R_{2} - E [R_{2}])] - ⑤$

共分散がプラスの場合は、２つの資産の値動きは同じ方向に動きます。例えば、資産１が値上がりすれば、資産２も上がります。マイナスの場合は、２つの資産の値動きは逆の方向となります。共分散が０の場合は、２資産の間に相関関係が無いことが言えます。

尚、共分散は資産同士の相関性の有無を表すことができますが、相関性の強弱を表すことはできません。

相関係数

相関係数とは、２資産の相関性の強弱を表す尺度で、以下で定義されます。

$ρ_{12} \equiv \frac{C (R_{1}, R_{2})}{σ (R_{1}) σ (R_{2})} - ⑥$

相関係数は、 $- 1$ から $1$ までの値をとります。２資産の全く同じ値動きを取る場合は $1$ 、全く逆の動きになる場合は $- 1$ となります。

式の導出

④を導く

①と②を③に代入し、公式 $E [x + y] = E [x] + E [y]$ を使うと、

$V [R] = E [(R - E [R])^{2}]$ $= E [(w_{1} R_{1} + w_{2} R_{2} - w_{1} μ_{1} - w_{2} μ_{2})^{2}]$ $= E [w_{1}^{2} (R_{1} - μ_{1})^{2} + 2 w_{1} w_{2} (R_{1} - μ_{1}) (R_{2} - μ_{2}) + w_{2}^{2} (R_{2} - μ_{2})^{2}]$ $= w_{1}^{2} E [(R_{1} - μ_{1})^{2}] + 2 w_{1} w_{2} E [(R_{1} - μ_{1}) (R_{2} - μ_{2})] + w_{2}^{2} E [(R_{2} - μ_{2})^{2}]$ $= w_{1}^{2} V [R_{1}] + 2 w_{1} w_{2} C (R_{1}, R_{2}) + w_{2}^{2} V [R_{2}]$