ポートフォリオとは
ポートフォリオとは、保有する株式や債券などの投資資産の組合せを表します。一般に、値動きに相関の無い資産を組み合わせたポートフォリオのリスクは、各資産単体のリスクより低減されることが分かっています。
以下、２銘柄のポートフォリオに分散投資した場合のリターンとリスクを求めます。
ポートフォリオのリターン
資産 $i$ の収益率を $R_i$、投資比率を $w_i$ とすると、ポートフォリオのリターン（収益率）は以下で求められます。
$$R=w_1R_1+w_2R_2 －①$$$$w_1+w_2=1$$
ポートフォリオの期待投資収益率 $E[R]$ は以下で定義します。
$$E[R]\equiv w_1E[R_1]+w_2E[R_2]$$
各資産のリターン（期待収益率）$\mu_i$ は、予測される収益率 $R_{ij}$ の平均（ $p_{ij}$ は発生確率）として求められるため、
$$\mu_i=E[R_i]=\sum_jp_{ij}R_{ij}$$$$\sum_jp_{ij}=1$$
ポートフォリオの全体のリターン $\mu$ は、これより以下で表すことができます。
$$\mu=E[R]=w_1\mu_1+w_2\mu_2 －②$$
ポートフォリオのリスク
ポートフォリオの分散 $V$ と標準偏差 $\sigma$ は以下で定義されます。ポートフォリオの分散（$V[R]$）は、過去の一定期間の平均から求められます。
$$V[R]=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(R_i-\mu)^2\equiv E\Big[\big(R-E[R]\big)^2\Big] －③$$$$\sigma^2(R)\equiv V[R]$$
①のような２資産の場合は、リスクは次のように書き替えることができます（④の導出）。
$$V[R]=w_1^2V[R_1]+2w_1w_2C(R_1,R_2)+w_2^2V[R_2] -④$$$$=w_1^2\sigma_1^2+2w_1w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12}+w_2^2\sigma_2^2$$
尚、$C(R_1,R_2)$ は共分散、$\rho_{12}$ は相関係数を表します。
共分散
ポートフォリオの共分散とは、２資産の相関性を表す尺度です。２資産の共分散は、以下で定義されます。
$$C(R_1,R_2)\equiv E\Big[\big(R_1-E[R_1]\big)\big(R_2-E[R_2]\big)\Big] -⑤$$
共分散がプラスの場合は、２つの資産の値動きは同じ方向に動きます。例えば、資産１が値上がりすれば、資産２も上がります。マイナスの場合は、２つの資産の値動きは逆の方向となります。共分散が０の場合は、２資産の間に相関関係が無いことが言えます。
尚、共分散は資産同士の相関性の有無を表すことができますが、相関性の強弱を表すことはできません。
相関係数
相関係数とは、２資産の相関性の強弱を表す尺度で、以下で定義されます。
$$\rho_{12}\equiv\frac{C(R_1,R_2)}{\sigma(R_1)\sigma(R_2)} -⑥$$
相関係数は、$-1$ から $1$ までの値をとります。２資産の全く同じ値動きを取る場合は $1$ 、全く逆の動きになる場合は $-1$ となります。
式の導出
④を導く
①と②を③に代入し、公式 $E[x+y]=E[x]+E[y]$ を使うと、
$$V[R]=E\Big[\big(R-E[R]\big)^2\Big]$$$$=E\Big[(w_1R_1+w_2R_2-w_1\mu_1-w_2\mu_2)^2\Big]$$$$=E\Big[w_1^2(R_1-\mu_1)^2+2w_1w_2(R_1-\mu_1)(R_2-\mu_2)+w_2^2(R_2-\mu_2)^2\Big]$$$$=w_1^2E\Big[(R_1-\mu_1)^2\Big]+2w_1w_2E\Big[(R_1-\mu_1)(R_2-\mu_2)\Big]+w_2^2E\Big[(R_2-\mu_2)^2\Big]$$$$=w_1^2V[R_1]+2w_1w_2C(R_1,R_2)+w_2^2V[R_2]$$
これより⓸が得られます。尚、最後は⑤を使っています。
