ポートフォリオのリターンとリスク

/金融・ゲーム理論

ポートフォリオとは

ポートフォリオとは、保有する株式や債券などの投資資産の組合せを表します。一般に、値動きに相関の無い資産を組み合わせたポートフォリオのリスクは、各資産単体のリスクより低減されることが分かっています。

以下、2銘柄のポートフォリオに分散投資した場合のリターンとリスクを求めます。

ポートフォリオのリターン

資産 i の収益率を Ri、投資比率を wi とすると、ポートフォリオのリターン(収益率)は以下で求められます。

R=w1R1+w2R2  w1+w2=1

ポートフォリオの期待投資収益率 E[R] は以下で定義します。

E[R]w1E[R1]+w2E[R2]

各資産のリターン(期待収益率)μi は、予測される収益率 Rij の平均( pij は発生確率)として求められるため、

μi=E[Ri]=jpijRijjpij=1

ポートフォリオの全体のリターン μ は、これより以下で表すことができます。

μ=E[R]=w1μ1+w2μ2  

ポートフォリオのリスク

ポートフォリオの分散 V と標準偏差 σ は以下で定義されます。ポートフォリオの分散(V[R])は、過去の一定期間の平均から求められます。

V[R]=1n1i=1n(Riμ)2E[(RE[R])2]  σ2(R)V[R]

①のような2資産の場合は、リスクは次のように書き替えることができます(④の導出)。

V[R]=w12V[R1]+2w1w2C(R1,R2)+w22V[R2]  =w12σ12+2w1w2σ1σ2ρ12+w22σ22

尚、C(R1,R2) は共分散、ρ12 は相関係数を表します。

共分散

ポートフォリオの共分散とは、2資産の相関性を表す尺度です。2資産の共分散は、以下で定義されます。

C(R1,R2)E[(R1E[R1])(R2E[R2])]  

共分散がプラスの場合は、2つの資産の値動きは同じ方向に動きます。例えば、資産1が値上がりすれば、資産2も上がります。マイナスの場合は、2つの資産の値動きは逆の方向となります。共分散が0の場合は、2資産の間に相関関係が無いことが言えます。

尚、共分散は資産同士の相関性の有無を表すことができますが、相関性の強弱を表すことはできません。

相関係数

相関係数とは、2資産の相関性の強弱を表す尺度で、以下で定義されます。

ρ12C(R1,R2)σ(R1)σ(R2)  

相関係数は、1 から 1 までの値をとります。2資産の全く同じ値動きを取る場合は 1 、全く逆の動きになる場合は 1 となります。

式の導出

④を導く

①と②を③に代入し、公式 E[x+y]=E[x]+E[y] を使うと、

V[R]=E[(RE[R])2]=E[(w1R1+w2R2w1μ1w2μ2)2]=E[w12(R1μ1)2+2w1w2(R1μ1)(R2μ2)+w22(R2μ2)2]=w12E[(R1μ1)2]+2w1w2E[(R1μ1)(R2μ2)]+w22E[(R2μ2)2]=w12V[R1]+2w1w2C(R1,R2)+w22V[R2]

これより⓸が得られます。尚、最後は⑤を使っています。

 

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